teoremas y postulados

2.1TEOREMAS Y POSTULADOS DEL  ALGEBRA DE BOOLE. POSTULADOS DE MORGAN

1.  Propiedad de cierre.

    Para un conjunto s se dice que es cerrado para un operador binario si para cada elemento de S el operador binario especifica una regla para obtener un elemento único de S.

    Para el conjunto N = {1,2,3,4,…} es cerrado con respecto al operador binario (+) por las reglas de la adición aritmética, ya que para que cualquier elemento a,b pertenecientes a N por la operación a + b = c el conjunto de los números naturales no esta cerrado con respecto al operador binario (-) por la regla de la resta aritmética, debido a que 2-3 = -1 y 2,3 pertenecen a N pero -1 no pertenece a N.

2.  Ley asociativa.

    El operador binario (*) es un conjunto S es asociativo siempre que
    x*y*z = x*(y*z)  para toda x, y pertenecientes a S.

3.  Ley conmutativa.

Un operador binario (*) para un conjunto S es conmutativo siempre que:
x*y = y*x  para toda x,y pertenecientes a S.

4.  Elemento identidad.

El conjunto S tendrá un elemento identidad multiplicativo “identidad (*)” en S si existe un e perteneciente a S con la propiedad e*x = x*e =e para cada x pertenecientes a S.

5.  Inversa.

El conjunto S tiene un elemento identidad (e) con respecto al operador (*) siempre que para cada x perteneciente a S exista un elemento y perteneciente a S tal que x*y=e.

6.  Ley distributiva.

Si el operador (*) y el operador (.), son operadores binarios de S, (*) se dice que es distributivo sobre (.).

Siempre que:

x*(y . z) = (x*y) . (x*z)

- El operador binario (+) define la adición.
- Identidad aditiva es el cero.
- La inversa aditiva define la sustracción.
- El operador binario (.) define la multiplicación.
- Identidad multiplicativa es 1.
- Inversa multiplicativa de A es igual a 1/A define la división esto es  A * 1/A = 1
- La única ley distributiva aplicable es la de operador (.) sobre el operador +
(.) sobre (+)    a(b+c)=(a.b) +(a.c)

Para definir formalmente el álgebra de Boole se emplean postulados de Huntington.

1.
a) Cierre con respecto al operador (+)
b) Cierre con respecto al operador (.)

2.
a) Un elemento identidad con respecto al operador (+), designado por el cero x+0 =0+x=x
b) Un elemento identidad con respecto al operador (.) designado por el uno x*1=1*x=x

3.
a) Conmutativo con respecto al operador (+) : x+y = y+x
b) Conmutativo con respecto al operador (.) : x*y =y*x

4.
a) El operador (.) es distributivo sobre el operador (+) : x.(y+z) = (x.y) + (y.z)
b) El operador (+) es distributivo sobre el operador (.) : x+(x.z) = (x+y) . (x+z)

5.  Para cada elemento de x pertenencia a B existe un elemento x’ complemento perteneciente a B denominado complemento de x tal que:

a) x+x’ = 1
b) x’ = 0

6.  Existen cuando menos dos elementos x,y pertenecientes a B tal que x diferente de y.  Por lo tanto tenemos que el álgebra de Boole difiere de la aritmética y del álgebra ordinaria en la sig:

a) Los postulados Huntington: no incluyen al ley asociativa, no obstante esta ley es valida para el álgebra booleana (para ambos operadores)

b) La ley distributiva del operador (+) sobre el operador (.) esto es: x+(y.z) = (x+y).(x+z), la cual es valida para el álgebra de boole pero no para el álgebra ordinaria.

c) El álgebra booleana no tiene inversa aditiva a multiplicativa, por lo tanto no hay operaciones de sustracciones o división.

d) El postulado 5 define un operador llamado completo que no se encuentra en el álgebra ordinaria.

e) En el algebra de Boole se define un conjunto B de dos elementos (0 y 1) y el álgebra ordinaria trata con el conjunto de los números reales.

Postulado 2                                 a) x + 0 = x                                 b) x . 1 = x
Postulado 5                       a) x + x’ = 1                                b) x . x’ = 0
Teorema 1                            a) x + x = x                                       b) x . x = x
Teorema 2                                    a) x + 1 = 1                               b) x . 0 = 0
Teorema 3 involución                       (x’)’ = x
Teorema 3 conmutativo     a) x + y = y + x                           b) xy = yx
Teorema 4 asociativo        a) x + (y + z) = (x + y) +z            b) x (yz) = (xy) z
Postulado 4 distributivo      a) x (y + z) = xy +xz            b) x + yz = (x + y)(x+z)
Teorema 5 morgan            a) ( x + y)’ = x’ y’                         b) (xy) = x’ + y’
Teorema 6 absorción         a) x + xy = x                               b) x (x + y) = x

Ejemplos:
 

x + x = x                                          x + xy = x
x + x = (x + x) . 1                             x . 1 + xy = x
x + x = (x + x) (x + x’)                     x (1 + y) = x
x + x = x + xx’                                 x (y + 1) = x
x + x = x + 0                                    x (1) = x
x + x = x                                          x = x
 

Las variables booleanas pueden tomar varios valores de 1 ó 0.
Una función booleana es una expresión formada por variables binarias.

Ejemplo:

F1 = xyz’

Para F1 considerar que es igual a 1 si:

    x = 1;  y = 1 ;  z’ = 1;  de otra manera F1 = 0.

           Por lo tanto tendremos que una función booleana también puede representarse en una tabla de verdad.  Para representar una función booleana en una tabla de verdad se necesita una lsit de 2ncombinaciones de 1 y 0 de las n variables binarias, y una columna que muestra combinaciones para las cuales f es igual a 1 ó 0.
 

x  y z   F1 F2 F3 F4
0 0  0    0   0   1    0
0 0  1    0   1   0    0
0 1  0    1   0   0    0
0 1  1    1   1   1    1
1 0  0    1   0   0    1
1 0  1    0   0   1    1
1 1  0    1   1   1    1
1 1  1    0   1   0    1

 

F1 = x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’  = x’y (z+z’) + xz’ (y+y’) = x’y + xz’

F2 = x’y’z + x’yz + xyz’ + xyz   = x’z (y+y’) + xy (z+z’) = x’z + xy

F3 = x’y’z’ + x’yz + xy’z + xyz’

F4 = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
     = xy’ (z+z’) + xy (z+z’) + x’yz
     = xy’ + xy + x’yz
     = x (y+y’) + x’yz
     = x + x’yz

 

2.2. FUNCIONES LOGICAS

 
 

Manipulación algebraica

           Cuando una función se incrementa con compuertas lógicas, cada literal en la función denota una entrada a una compuerta.

1. Cada literal denota la entrada a una compuerta.
2. Cada termino se implanta con una compuerta.

           Por el momento nos limitaremos a la minimización por literales.  Por lo cual debe quedar muy claro que en la manipulación algebraica no hay reglas especificas a seguir a que garanticen la respuesta final.

Ejemplo: Reducir las siguientes funciones booleanas.

1. x (x’+y) = xx’ + xy = xy
2. x’y’z + x’yz + xy = x’z (y+y’) + xy = x’z + xy
3. x + x’y = (x+x’)(x+y) = x+y

Complemento de una función.

           El complemento de una función F es F’ obteniendose por el intercambio de 1’s y 0’s y de 0’s y 1’s.

Ejemplo:
 

(A+B+C)’ = (A+X)’    para   X = B+C
A’ . X’   ?  A’ . (B+C)’ ? A’ . B’ .C’
(A+B+C+D+E+F+……..I)
(A’.B’.C’.D’.E’.F’…….I’)

           La forma generalizada de D’Morgan enuncia que el complemento de una función se obtiene del intercambio de los operadores AND y OR y complementando cada literal.

F1 = (x’yz’ + x’y’z)’ = (x+y’+z . x+y+z’)
F2  = ? x (y’z’+yz)? = x’ + ? x (y+z).(y’+z’)?

           Otra forma más simple para derivar el complemento de una función es tomar el dual de la función y complementar cada literal.

           Hay que recordar que el cual de una función se obtiene por el intercambio de los operadores AND y OR y los 1’s y los 0’s.

Ejemplo:

F1 = x’yz’ + x’y’z
el dual:  F1 = (x+y’+z) . (x+y+z’)

Las variables pueden ser normales (x) ó complemento (x’).
Cuando tenemos un conjunto de n variables nosotros podemos formar 2n miniterminos de acuerdo a la siguiente tabla:

Para n=3  2n-1 combinaciones iniciando a partir de cero.

        Cada minitérmino lo obtenemos de un término AND de las n variables y complementado cada variable si el número binario que representa es un 0 y no complementando si es un 1.

        Cada minitermino se representa por mj donde j representa el equivalente decimal del número binario del minitermino de la misma forma podemos tener los maxiterminos con las n variables formando un término OR para cada maxitermino.

        En estas se hace la consideración de que cada variable no complementada corresponde al bit 0 y complementada al bit 1.

F1= x’y’z + xy’z’ + xyz = m1+m4+m7
F2= x’yz + xy’z + xyz’ + xyz = m3+m5+m6+m7
F1’= x’y’z’ + x’yz’ + x’yz + xy’z + xyz’
(F1’)’ = (x+y+z) . (x+y’+z) . (x+y’+z’) . (x’+y+z’) . (x’+y’+z)
          = M0 . M2 . M3 . M5 . M6

        

   El complemento de una función booleana lo podemos obtener al formar miniterminos para cada combinación que produce un cero en la función y aplicando el operador OR a esos términos.

           Las funciones booleanas expresadas como una suma de miniterminos o productos de maxiterminos se dice que esta en forma canónica.

2.3. SIMPLIFICACION DE FUNCIONES

 

Suma de miniterminos.

    Como sabemos cualquier función booleana puede expresarse como una suma de miniterminos.  La suma de estos elementos que son los que definen una función booleana son aquellos que dan los 1’s de la función en una tabla de verdad.

    Algunas veces es conveniente expresar la función booleana en la forma de suma de miniterminos.  Si no puede hacerse en esta forma entonces puede realizarse primero por la expansión de la expresión en una suma de los términos AND.

    Después cada término se inspecciona para ver si contiene todas las variables, si se han perdido una o más variables, se aplica el operador AND con una expresión x+x’ en donde x es una de las variables perdidas.

Ejemplo:  Expresar la función  F = A+B’C en una suma de miniterminos.

F= A+B’C
F(A,B,C)
A= A(B+B’) = AB+AB’
  = AB(C+C’) + AB’(C+C’)
  = ABC + ABC’ + AB’C +AB’C’

B’C = B’C (A+A’)
      = AB’C + A’B’C

F = ABC+ABC’+AB’C+AB’C’+AB’C+A’B’C
F = A’B’C+AB’C’ +AB’C+ABC’+ABC
F = m1+ m4+m5+ m6+ m7
F(A,B,C)=SUM(1,4,5,6,7)

La sumatoria representa al operador OR que opera en los términos y números siguientes son los minitérminos de la función.

Las letras entre paréntesis que siguen a F forman una lista de las variables en el orden tomado cuando el minitérmino se convierte en un término AND.

Producto de los maxitérminos.

           Para expresar una función booleana como un producto de maxitérminos, primero debe llevarse a una forma de términos OR.  Esto es posible al uso de la ley distributiva; esto es si x+yz = (x+y) (x+z); para cualquier variable perdida x en cada término se opera a OR con xx’.

Ejemplo:

F = (x’+y) (x+z) (y+z)
(x’+y) = x’+y+zz’
         = (x’+y+z) (x’+y+z)
(x+z)  = x+z+yy’
         = (x+y+z) (x+y’+z)
(y+z)  = y+z+xx’
         = (x+y+z) (x’+y+z)
F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z) (x+y+z) (x’+y+z)
F = (x’+y+z) (x’+y+z’) (x+y+z) (x+y’+z)
F = (x+y+z) (x+y’+z) (x’+y+z) (x’+y+z’)
          M0       M2         M4        M5
F(x,y,z) = PI(0,2,4,5)

El operador PI denota la operación AND de maxitérminos; y los números son los maxitérminos de la función.
 

Conversión entre formas canónicas.

           El complemento de una función expresada como suma de minitérminos es igual a la suma de los minitérminos perdidos de la función original.

Ejemplo:
 

F(A,B,C) = SUM(1,4,5,6,7)
F’(A,B,C) = SUM(0,2,3) = m0+m2+m3