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miércoles, 10 de diciembre de 2014

algoritmo de division

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Cómo enseñar el algoritmo de la división
En esta lección estableceremos una manera efectiva de enseñar el algoritmo de la división, es decir describiremos los procedimientos que deben ser ejecutados para resolver la división entre dos números. En lugar de suministrar la secuencia completa de instrucciones de una sola vez, explicaremos el algoritmo de la división POR ETAPAS, con el objetivo de que el estudiante se familiarice de manera gradual con los diferentes pasos.
Antes de que el niño empiece el estudio de la división necesitará tener claros los siguientes conceptos:
  • las tablas de multiplicar (por lo menos bastante bien)
  • divisiones simples que se basan en las tablas de multiplicar
    (por ejemplo 28 ÷ 7 o 56 ÷ 8)
  • divisiones simples con resto (por ejemplo 54 ÷ 7 or 23 ÷ 5)
Una razón por la cual el algoritmo de la división resulta difícil
El Algoritmo de la división es un algoritmo que repite los pasos básicos de
1) Dividir; 2) Multiplicar; 3) Restar; 4) Bajar la cifra siguiente.
De estos pasos, #2 y #3 pueden resultar difíciles y confusos para los estudiantes porque parece que no tienen nada que ver con la división—tienen que ver con cómo hallar el resto. De hecho, para señalar esto, me gusta combinar esos dos pasos en un único paso de "multiplicar & restar".
Para facilitar el proceso de aprendizaje del algoritmo y evitar confusión, recomiendo, considerando inicialmente los casos más sencillos e intuitivos de la división, que no implican el uso de todos los pasos arriba mencionados. Luego, una vez que el estudiante domine con soltura estas primeras divisiones, pasar a divisiones más generales, que involucren todos los pasos del algoritmo.
    • etapa 1: La división es exacta en todas las cifras. Aquí, los estudiantes solo practican cómo dividir.
  • etapa 2:Hay un resto en las unidades. Ahora, los estudiantes practican la parte de "multiplicar & restar" y la conectan con el resto.
  • etapa 3: Un resto en las decenas. Los estudiantes ahora usan el algoritmo entero, incluyendo "bajando la cifra siguiente", usando dividendos de 2 cifras.
  • etapa 4: Un resto en cualquier de los valores posicionales. Los estudiantes practican el algoritmo entero usando dividendos largos.

Division 2


Etapa 1: División exacta en todas las cifras
En esta primera etapa las divisiones tendrán dividendos cuyas cifras de centenas, decenas y unidades serán divisibles exactamente por el divisor. La META aquí, es acostumbrar a los estudiantes a dos cosas:
  1. Acostumbrarlos al "rincón" o "casita" del algoritmo de división (este simbolo que usamos en la división larga es una forma de organizar los calculos) — el dividendo se escribe dentro de esta "casita" o "rincón" y el cociente va arriba. (Nota: en España se usa una "casita" un poco diferente donde el divisor va a la derecha de la "casita" y el cociente va debajo del divisor. Este documento usa la forma usada en Norteamérica.)
  2. Acostumbrarlos a la pregunta, "¿Cuántas veces cabe el divisor en las cifras del dividendo?"
A continuación se dan algunos ejemplos de como escribir una división según el estilo de Norteamérica. Los estudiantes deberían verificar cada división exacta multiplicando el divisor por el cociente.
 
a.
4 
) 
8 4 
b.
3 
) 
6 6 0 
c.
4 
) 
8 0 4 0 

En España y America del Sur las divisiones se escriben así:

a.
8 4 | 4 
b.
6 6 0 | 3 
c.
8 0 4 0 | 4 


También en esta etapa, los estudiantes aprenden a mirar (considerar) las primeras dos cifras del dividendo, si el divisor "no cabe" en la primera cifra:

c  d   u


0 
4 
) 
2 4 8 
o
c  d   u
2 4 8 
| 4
 0


c  d   u


0 6 2
4 
) 
2 4 8 
o
c  d   u
2 4 8 
| 4     
 0 6 2
4 no cabe en 2. Puedes poner un cero en el cociente en el lugar de las centenas, o no hacerlo. Pero 4 sí cabe en 24, seis veces. Escribe 6 en el cociente.
Explicación:
El 2 de 248 es por supuesto 200 en realidad. Si dividieras 200 por 4, el resultado sería menos de 100, pues es por eso que el cociente no tiene centenas.
Entonces, combinas las 2 centenas con las 4 decenas. Eso hace 24 decenas, y PUEDES dividir 24 decenas por 4. El resultado 6 decenas se escribe como parte del cociente.
Comprueba la respuesta final: 4 × 62 = 248.
A continuación más ejemplos de ejercicios de divisiones exactas. Realiza las divisiones. Comprueba tu respuesta multiplicando el cociente por el divisor.
Las divisiones están expresadas en la forma que se acostumbra en Norteamérica, y no utilizando la notación que se adopta en Sudamérica y España. Pero, independientemente de la notación, las ideas de esta lección son las mismas. Puedes escribir los problemas de la manera que más te guste.

a.
3 
) 
1 2 3 
b.
4 
) 
2 8 4 




c.
6 
) 
3 6 0 
d.
8 
) 
2 4 8 




Etapa 2: Un resto en las unidades
Ahora hay un resto en las unidades. Las cifras de los millares, centenas y decenas todavía se dividen exactamente por el divisor. Inicialmente, los estudiantes pueden resolver el restomentalmente y simplemente escribir el resto después el cociente:

 c  d   u
 0 4 1 R1
4 
) 
 1 6 5 
4 no cabe en 1 (centena). Pues combina la centena con las 6 decenas (16 decenas).
4 cabe en 16 cuatro veces.
4 cabe en 5 una vez, dejando un resto de 1.
 m  c  d   u
 0 4 0 0 R7
8 
) 
 3 2 0 7 
8 no cabe en 3 de los millares. Pues combina los 3 millares con las 2 centenas (3,200).
8 cabe en 32 cuatro veces
(3,200 ÷ 8 = 400)
8 cabe en 0 cero veces (decenas).
8 cabe en 7 cero veces, dejando un resto de 7.
Sucesivamente, los estudiantes aprenden a hallar el resto usando el proceso de "multiplicar & restar". ¡Es un paso muy importante! La parte de "multiplicar & restar" a menudo es muy difícil para los estudiantes, por eso la practicamos en el lugar más fácil posible: en la última parte de la división, en la columna de las unidades (en lugar de la columna de las decenas o centenas). Por supuesto, esto supone que los estudiantes ya hayan aprendido a hallar el resto en divisiones simples basadas en las tablas de multiplicar (tales como 45 ÷ 7 o 18 ÷ 5).


En los problemas anteriores, sólo escribiste el resto de las unidades. Usualmente se escribe la resta que nos da el resto. Fíjate:
 c  d   u
 0 6 1
4 
) 
 2 4 7

− 4


    3
Al dividir las unidades, 4 cabe en 7 una vez. Multiplica 1 × 4 = 4, escribe el cuatro debajo del 7, y resta. Esto nos da el resto: 3.
Verifica: 4 × 61 + 3 = 247
 m  c  d   u
 0 4 0 2
4 
) 
 1 6 0 9


− 8


    1
Al dividir las unidades, 4 cabe en 9 dos veces. Multiplica 2 × 4 = 8, escribe el ocho debajo del 9, y resta. Esto nos da el resto: 1.
Verifica: 4 × 402 + 1 = 1,609
A continuación proponemos más divisiones del mismo tipo. Ahora los estudiantes comprueban la respuesta multiplicando el divisor por el cociente, y luego sumando a este resultado el resto.


a.
3 
) 
1 2 8 
b.
3 
) 
9 5 


 
c.
6 
) 
4 2 6 7 
d.
4 
) 
2 8 4 5 


 

 




Etapa 3: un resto en las decenas
En esta etapa, los estudiantes practican por primera vez todos los pasos básicos del algoritmo de la división: divide, multiplica & resta, baja la cifra siguiente. Usamos números de dos cifras para hacerlo simple. "Multiplicar & restar" tiene que ver con el resto, y después de hallar el resto, lo combinamos con la siguiente cifra del dividendo, es decir con la unidad (hacemos esto "bajando la cifra"). El número que resulta si divide después por el divisor.

Un ejemplo:
1. Divide.
2. Multiplica & resta.
3. baja la cifra siguiente.
d  u
2  
2 
)
5 8 

Dos cabe en 5 dos veces, o 5 decenas ÷ 2 = 2 decenas -- pero hay un resto!
d  u
2  
2 
)
5 8 
- 
4
1
Para hallarlo, multiplica 2 × 2 = 4, escribe el 4 debajo del cinco, y resta para hallar el resto de 1 decena.
d   u
2 9
2 
)
5 8 
- 
4 ↓
1 8
Luego, baja el 8 de las unidades al lado de la decena restante (al lado de 1). Combinas la decena restante con las 8 unidades, y consigues 18.

1. Divide.
2. Multiplica & resta.
3. baja la cifra siguiente.
d   u
2 9
2 
)
5 8 
- 
4
1 8

Divide 18 por 2. Coloca 9 en el cociente.
d   u
2 9
2 
)
5 8 
- 
4
1 8
- 
1 8
0 
Multiplica 9 × 2 = 18, escribe el 18 debajo del 18, y resta.
d   u
2 9
2 
)
5 8 
- 
4
1 8
- 
1 8
0
La división ya está terminada porque no quedan más cifras en el dividendo. El cociente es 29.



Etapa 4: un resto en cualquiera de los valores posicionales
Una vez que los estudiantes dominen la etapa anterior, podrán empezar a practicar el algoritmo de la división con números de 3 o 4 cifras. Necesitan completar los pasos básicos varias veces.

1. Divide.
2. Multiplica & resta.
3. baja la cifra siguiente.
d  u
1  
2 
)
2 7 8 

Dos cabe en 2 una vez, o 2 centenas ÷ 2 = 1 centena.
d  u
1  
2 
)
2 7 8 
- 
2
0
Multiplica 1 × 2 = 2, escribe el 2 debajo del dos, y resta para hallar el resto de cero.
d   u
1 8
2 
)
2 7 8 
- 
2 ↓
0 7
Siguiente, baja el 7 de las decenas al lado del cero.
Divide.
Multiplica & resta.
Baja la cifra siguiente.
d   u
1 3
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7

Divide 7 por 2 (¿Cuántas veces cabe el 2 en el 7?). Coloca 3 en el cociente.
d   u
1 3
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7
- 
   6
1   
Multiplica 3 × 2 = 6, escribe el 6 debajo del 7, y resta para hallar el resto de 1 decena.
d   u
1 3
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7
- 
   6
1 8
Luego, baja el 8 de las unidades al lado de la decena restante (al lado de 1).
1. Divide.
2. Multiplica & resta.
3. baja la siguiente cifra.
d   u
1 3 9
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7
- 
   6
1 8

Divide 18 por 2. Coloca 9 en el cociente.
t   o
1 3 9
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7
- 
   6
1 8


 - 1 8


0
Multiplica 9 × 2 = 18, escribe el 18 debajo del 18, y resta para hallar el resto de cero.
d   u
1 3 9
2 
)
2 7 8 
- 
2
0 7
- 
   6
1 8


 - 1 8


0
No hay más cifras para bajar. El cociente es 139.








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